正定矩阵
正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，其核心特征与二次型非负性密切相关。以下是综合不同来源的详细解释：
定义
狭义定义
若一个n阶实对称矩阵M满足：对任意非零实向量z，都有( z^T M z > 0 )，则称M为正定矩阵。例如，单位矩阵E是正定矩阵，因为对应的二次型( z^T E z = z_1^2 + z_2^2 + \dots + z_n^2 )恒为正。广义定义
对于任意n阶方阵（不限定对称性），若对所有非零向量z均有( z^T M z > 0 )，也可称其为正定矩阵。但通常讨论的正定矩阵特指实对称或Hermite矩阵（复数域的推广）。复数域的推广
Hermite正定矩阵要求矩阵满足( M = M^H )（共轭转置等于自身），且对所有非零复向量z，( z^H M z > 0 )。
关键性质
基础性质
- 行列式恒为正；
- 主对角线元素均为正数；
- 逆矩阵、伴随矩阵仍为正定矩阵；
- 正实数与正定矩阵的乘积保持正定性。
运算封闭性
- 两个正定矩阵的和仍正定；
- 分块对角矩阵若由正定块构成，整体仍正定。
等价条件
实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件包括：- 所有特征值为正；
- 所有顺序主子式（或主子式）均为正；
- 存在可逆矩阵C，使得( A = C^T C )（即与单位矩阵合同）。
判别方法
特征值判定法
计算矩阵的所有特征值，若全为正数则为正定。主子式判定法
检查各阶顺序主子式（如三阶矩阵需验证1阶、2阶、3阶主子式）是否全大于零。合同变换法
若存在可逆矩阵U，使得( A = U^T U )，则A正定。
应用场景
二次型与优化
正定矩阵对应的二次型在非零向量处取正值，常用于优化问题中定义凸函数。数值计算与算法
在雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法中，正定性保证数值解收敛。不等式推导
通过构造正定二次型可证明柯西不等式等经典结论。工程与科学
用于椭圆型偏微分方程建模（如拉普拉斯方程）、环境污染源分析等。
示例说明
考虑矩阵( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix} )，其顺序主子式分别为2（一阶）和3（二阶），均大于零，故A为正定矩阵。对应的二次型( 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 )可化简为( (x_1 - x_2)^2 + x_1^2 + x_2^2 )，显然恒为正。
如需更深入的数学证明或应用案例，可参考线性代数教材或专业文献。
正定、负定、不定矩阵的定义是否以对称矩阵为前提，需结合不同数学分支的定义习惯和上下文语境分析：
经典定义中的对称性要求
正定与负定矩阵的对称性
在实二次型理论中，正定、负定、不定矩阵的定义明确要求矩阵为实对称矩阵。例如：- 正定二次型对应的矩阵必须是实对称的，其核心判定条件（如特征值全正、顺序主子式全正等）均依赖于对称性。
- 负定矩阵同样需满足对称性，且其奇数阶主子式为负、偶数阶主子式为正的判定规则也基于对称性。
不定矩阵的对称性
不定矩阵的定义明确针对埃尔米特矩阵（实对称矩阵的复数推广），要求其既非半正定也非半负定。例如，实二次型的不定性需通过对称矩阵的惯性指数判断。
广义定义的例外情况
非对称矩阵的二次型符号讨论
- 存在非对称矩阵可能满足对任意非零向量( x^T M x > 0 )，但这类矩阵不被视为严格意义上的正定矩阵，而是需通过对称化处理（如取( (M + M^T)/2 )）后再判定。
- 例如矩阵( A = \begin{bmatrix}1 & -1 \ 1 & 1\end{bmatrix} )虽满足( x^T A x > 0 )，但需转化为对称形式( B = \frac{A + A^T}{2} )后才符合正定矩阵的标准定义。
复数域的推广
在复数域中，正定、负定、不定矩阵的定义推广至埃尔米特矩阵（共轭对称矩阵），仍保持对称性要求。
结论
- 严格意义下：正定、负定、不定矩阵的概念均以对称性（实对称或埃尔米特对称）为前提，这是标准教材和多数文献的共识。
- 广义讨论中：可能存在非对称矩阵满足类似二次型符号条件，但这类情况需通过对称化后分析，且通常不纳入标准定义范畴。
因此，在绝大多数数学场景中，这些概念均默认矩阵是对称的。若遇到非对称矩阵的类似性质讨论，需特别注意其定义是否经过调整或扩展。