研究对象：那些在理论上有解而又无法手工计算的数学问题

误差

按来源可以分为：

• 模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的, 一般带有误差, 这种误差称为模型误差
• 观测误差 数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的, 难免带有误差, 这种误差称为观测误差
• 截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法, 这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差.
• 舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行计算，无理数等都需要按舍入原则保留有限位**,** 这时产生的误差称为舍入误差**.** 在数值分析中, 均假定数学模型是准确的, 因而不考虑模型误差和观测误差, 只讨论~截断误差和舍入误差~对计算结果的影响.

绝对误差

相对误差

一般地**,** 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值**,** 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位

有效数字

与相对误差限关系

• 和差的误差限不超过各数的误差限之和
• 乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和**.**

数值稳定性

一种数值算法**,** 如果其计算舍入误差积累是可控制的**,** 则称其为数值稳定的**,** 反之称为数值不稳定的**.**

• 避免两个相近的数相减
• 防止大数“吃掉”小数 在求和或差的过程中应采用由小到大的运算过程
• 绝对值太小的数不宜作除数
• 注意简化计算程序**,** 减少计算次数

线性方程组的直接方法

解线性方程组的方法：

• 直接方法 直接解法是指, 若不考虑计算过程中的舍入误差, 经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法. 但由于实际计算中舍入误差的存在, 用直接解法一般也只能求出方程组的近似解
• 迭代法 直接解法是指, 若不考虑计算过程中的舍入误差, 经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法. 但由于实际计算中舍入误差的存在, 用直接解法一般也只能求出方程组的近似解

Gauss 消去法

Gauss消元法是一种规则化的消元法, 其基本思想是通过逐次消元计算, 把一般线性方程组的求解转化为等价的上三角形方程组的求解.

计算复杂度

• 简单易求
• 要求主元均不为 0，适用范围小
• 数值稳定性差

主元素法

在消元过程中, 应避免选取绝对值较小的数作主元. 通过交换方程次序, 选取绝对值较大的元素作为主元 常采用的是

• 列主元消去法

• 全主元消去法
  

• 全主元素法的精度优于列主元素法, 这是由于全主元素是在全体系数中选主元, 故它对控制舍入误差十分有效.

• 但全主元素法在计算过程中, 需同时作行与列的互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.

• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳定性.

• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一.

三角分解法

定理：设 A 为n 阶方阵, 若 A 的前n阶顺序主子式 Ai ( i =1, 2, …, n)均不为0, 则矩阵A存在唯一的Doolittle分解.

追赶法

• 当系数矩阵为满足定理条件的严格对角占优阵时, 追赶法具有良好的数值稳定性.

平方根法

对称正定阵的LDL^T分解本质上是对A作Doolittle分解, 即LU分解

• L = LU分解中的L
• D= LU分解中的U的对角部分

改进平方根法

• 计算无须选主元, 由于正定性, 计算过程是数值稳定的
• 计算量是Gauss消元法的一半
• 由于对称性, 实际计算可存储一半
• 是求解中小型稠密正定线性方程组的好算法

误差分析

常用的三种矩阵范数均是由向量范数诱导出的.

当一个方程组, 由于系数矩阵或右端项有微小扰动, 而引起解发生巨大变化时, 则称该方程组是“病态”的.

• 只有右端项有扰动
• 只有系数矩阵有扰动

解线性方程组的迭代方法

Jacobi迭代法

例子 最迅速的方法 无穷范数

Gauss-Seidel迭代法

在计算迭代值时充分利用它前面的新信息 例子

对比

收敛条件

若迭代矩阵的范数<1, 则迭代法一定收敛.

充要条件

一般来说, 计算矩阵的谱半径比较困难, 故用迭代法收敛的充分必要条件来判断迭代法是否收敛往往不太容易

充分条件

• 若A为严格对角占优阵, 则求解Ax=b 的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.
• 若A为对称正定阵, 则求解Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛
  • 特征值均正
  • 顺序主子式均正
• （若存在某种矩阵范数满足 ∥B∥<1，则迭代收敛）

误差估计

幂法与反幂法

• 幂法：用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量, 特别适用于大型稀疏矩阵
• 反幂法：用于计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量, 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量.

幂法

为避免出现上溢或下溢, 实际计算时每次迭代所求的向量都要归一化

原点移位法

原点移位法使用简便, 不足之处在于l0的选取十分困难, 通常需要对特征值的分布有一大概的了解, 才能粗略地估计l0, 并通过计算不断进行修改

反幂法

第五章

• 函数表达式复杂, 不便于计算和进行理论分析
• 没有函数表达式, 只给出离散样点

拉格朗日插值

• 插值多项式是否存在唯一
• 如何求
• 截断误差

牛顿插值

• 线性性
• 对称性

分段线性插值

Hermite插值

函数逼近

最小二乘法

数值微分和数值积分

数值微分

数值积分

• 梯型公式具有1 次代数精度
• Simpson 公式具有3 次代数精度
• 收敛性说明: 如果 f (x) 充分光滑, 那么梯形公式序列, Simpson公式序列, Cotes公式序列, Romberg公式序列均收敛到所求的积分值
• 对于 f (x)不充分光滑的函数也可用Romberg算法计算, 只是收敛慢一些. 也可以直接使用复化Simpson公式计算.

非线性方程求根

对同一方程可构造不同的迭代格式,产生的迭代序列收敛性也不同

考试

第三章：两种迭代法（三阶）+ 收敛性判断 第四章：幂法和反幂法（二阶） 第五章： 差商表 拉格朗日 牛顿 Hermite插值多项式 （老师觉得不用背，从考试的 给 0，1，代系数推导） 第六章 线性拟合（一次最小二乘，最后求解分数少）和简单的二次拟合 第七章 四个微分公式 截断误差不用记，知道和平方同阶无穷小 Simpson序列不用记（？） 第八章

• 二分法
• 简单迭代法
• 牛顿法 求导 迭代格式带上初始值 第九章 欧拉法和改进欧拉法公式 写出计算公式并计算y1 会求精确解？ 疑问：
• 计算结果保留三位小数，过程是否需要4位
• Gauss型求积公式

对称正定充要

• 特征值均为正
• 顺序主子式大于0
• 可以进行Cholesky分解

嵌套时 牛顿 乘法次数最少